این صفحه برای کاربری است که می خواهد فراتر از تجربه شخصی، با عدد و فرمول بفهمد در بازی پوپ چه چیزی اتفاق می افتد. ما در اینجا با لحن آموزشی ولی دقیق، مفهوم امید ریاضی یا Expected Value را معرفی می کنیم، آن را برای هر سطح برداشت در بازی پوپ محاسبه می کنیم و در نهایت نشان می دهیم چرا هیچ استراتژی نمی تواند این عدد را مثبت کند. اگر با مفاهیم پایه احتمال در حد دبیرستان آشنا هستید، این صفحه برای شما کاملا قابل فهم است.
امید ریاضی چیست
امید ریاضی یک شرط، میانگین وزنی نتیجه آن شرط در بلندمدت است. اگر شما همان شرط را بی نهایت بار تکرار کنید، میانگین سود یا زیان شما به این عدد همگرا می شود. فرمول ساده آن این است: مجموع حاصل ضرب احتمال هر پیامد در ارزش پولی آن پیامد. اگر این عدد مثبت باشد، شرط در بلندمدت برای شما سودده است. اگر صفر باشد، شرط منصفانه است. اگر منفی باشد، شرط برای شما زیان ده است.
برای روشن شدن، یک مثال ساده غیر کازینویی. فرض کنید سکه ای می اندازید و اگر شیر بیاید ۱۰۰۰ تومان به شما داده می شود و اگر خط بیاید ۱۰۰۰ تومان از شما گرفته می شود. احتمال هر طرف ۰.۵ است. EV این شرط برابر است با ۰.۵ × ۱۰۰۰ منهای ۰.۵ × ۱۰۰۰ که برابر صفر می شود. این یعنی شرط منصفانه است. حالا اگر شرط را تغییر دهیم و بگوییم خط ۱۲۰۰ تومان می گیرد، EV می شود ۰.۵ × ۱۰۰۰ منهای ۰.۵ × ۱۲۰۰ که برابر منفی ۱۰۰ تومان است. این عدد یعنی به ازای هر شرط، در میانگین ۱۰۰ تومان ضرر می کنید.
احتمال موفقیت در هر سطح پوپ
پایه تمام محاسبات بعدی، احتمال موفقیت بازیکن در هر سطح بازی پوپ است. در پیاده سازی استاندارد رایج، توزیع ایموجی ها در هر سطح به این صورت است: سطح اول سه پول و یک پوپ، سطح دوم سه پول و یک پوپ، سطح سوم دو پول و دو پوپ، سطح چهارم دو پول و دو پوپ، سطح پنجم یک پول و سه پوپ. در ادامه این جدول را پایه محاسبات می گذاریم.
| سطح | پول | پوپ | احتمال موفقیت (P) |
|---|---|---|---|
| ۱ | ۳ | ۱ | ۰.۷۵ |
| ۲ | ۳ | ۱ | ۰.۷۵ |
| ۳ | ۲ | ۲ | ۰.۵۰ |
| ۴ | ۲ | ۲ | ۰.۵۰ |
| ۵ | ۱ | ۳ | ۰.۲۵ |
احتمال بقای تجمعی
برای محاسبه احتمال این که بازیکن از سطح اول تا سطح K بدون باخت پیش برود، باید احتمال موفقیت هر سطح را در سطوح قبل ضرب کرد. این مقدار را احتمال بقای تجمعی می نامیم.
تا سطح ۱: ۰.۷۵.
تا سطح ۲: ۰.۷۵ × ۰.۷۵ = ۰.۵۶۲۵.
تا سطح ۳: ۰.۵۶۲۵ × ۰.۵ = ۰.۲۸۱۲۵.
تا سطح ۴: ۰.۲۸۱۲۵ × ۰.۵ = ۰.۱۴۰۶۲۵.
تا سطح ۵: ۰.۱۴۰۶۲۵ × ۰.۲۵ = ۰.۰۳۵۱۵۶ (حدود ۳.۵ درصد).
این اعداد یک پیام مهم منتقل می کنند. احتمال این که بازیکن تا سطح سوم پیش برود حدود ۲۸ درصد است، یعنی در سه دور از هر ده دور. احتمال این که تا سطح پنج پیش برود تنها حدود ۳.۵ درصد است، یعنی تقریبا در یک دور از هر بیست و هشت دور. هر چه به سطوح بالاتر می روید، احتمال موفقیت به طور تصاعدی کاهش می یابد.
محاسبه ضرایب با RTP ۹۷ درصد
در پیاده سازی استاندارد با RTP حدود ۹۷ درصد، ضریب پیشنهادی سایت در هر سطح برابر است با ۰.۹۷ تقسیم بر احتمال بقای تجمعی آن سطح. این فرمول دقیقا همان چیزی است که حاشیه خانه (House Edge) ۳ درصد را تضمین می کند.
| سطح | احتمال بقا تجمعی | ضریب (RTP ۹۷٪) |
|---|---|---|
| ۱ | ۰.۷۵ | ۱.۲۹ |
| ۲ | ۰.۵۶۲۵ | ۱.۷۲ |
| ۳ | ۰.۲۸۱۲۵ | ۳.۴۵ |
| ۴ | ۰.۱۴۰۶۲۵ | ۶.۹۰ |
| ۵ | ۰.۰۳۵۱۵۶ | ۲۷.۶۰ |
این اعداد را در ذهن خود نگه دارید. در ادامه برای هر استراتژی «برداشت در سطح K»، EV را با همین جدول محاسبه می کنیم.
محاسبه EV استراتژی برداشت در سطح ۱
شرط ۱۰۰۰۰ تومان. استراتژی: بازیکن قصد دارد در صورت موفقیت در سطح ۱، بلافاصله Cash Out کند.
دو پیامد ممکن است.
پیامد اول: موفقیت در سطح ۱. احتمال ۰.۷۵. در این حالت بازیکن ۱۰۰۰۰ × ۱.۲۹ = ۱۲۹۰۰ تومان دریافت می کند، که سود خالص ۲۹۰۰ تومان است.
پیامد دوم: باخت در سطح ۱. احتمال ۰.۲۵. در این حالت بازیکن ۱۰۰۰۰ تومان از دست می دهد.
EV = ۰.۷۵ × ۲۹۰۰ + ۰.۲۵ × (منفی ۱۰۰۰۰)
EV = ۲۱۷۵ منهای ۲۵۰۰
EV = منفی ۳۲۵ تومان (تقریبا ۳.۲۵ درصد از شرط که نزدیک به ۳ درصد است؛ تفاوت کوچک به دلیل گرد کردن ضریب از ۱.۲۹۳۳ به ۱.۲۹).
محاسبه EV استراتژی برداشت در سطح ۲
شرط ۱۰۰۰۰ تومان. استراتژی: بازیکن قصد دارد در سطح ۲ Cash Out کند.
پیامد اول: موفقیت تا سطح ۲. احتمال ۰.۵۶۲۵. سود خالص ۱۰۰۰۰ × ۱.۷۲ منهای ۱۰۰۰۰ = ۷۲۰۰ تومان.
پیامد دوم: باخت در مسیر. احتمال ۱ منهای ۰.۵۶۲۵ = ۰.۴۳۷۵. زیان ۱۰۰۰۰ تومان.
EV = ۰.۵۶۲۵ × ۷۲۰۰ + ۰.۴۳۷۵ × (منفی ۱۰۰۰۰)
EV = ۴۰۵۰ منهای ۴۳۷۵
EV = منفی ۳۲۵ تومان.
محاسبه EV استراتژی برداشت در سطح ۳
شرط ۱۰۰۰۰ تومان. ضریب در سطح ۳ برابر ۳.۴۵.
پیامد اول: موفقیت تا سطح ۳. احتمال ۰.۲۸۱۲۵. سود خالص ۱۰۰۰۰ × ۳.۴۵ منهای ۱۰۰۰۰ = ۲۴۵۰۰ تومان.
پیامد دوم: باخت در مسیر. احتمال ۰.۷۱۸۷۵. زیان ۱۰۰۰۰ تومان.
EV = ۰.۲۸۱۲۵ × ۲۴۵۰۰ + ۰.۷۱۸۷۵ × (منفی ۱۰۰۰۰)
EV = ۶۸۹۰.۶ منهای ۷۱۸۷.۵
EV = منفی ۲۹۷ تومان (تقریبا ۳ درصد).
محاسبه EV استراتژی برداشت در سطح ۴ و ۵
برای سطح ۴ با ضریب ۶.۹۰ و احتمال بقا ۰.۱۴۰۶۲۵:
EV = ۰.۱۴۰۶۲۵ × ۵۹۰۰۰ + ۰.۸۵۹۳۷۵ × (منفی ۱۰۰۰۰) = ۸۲۹۷ منهای ۸۵۹۴ = منفی ۲۹۷ تومان.
برای سطح ۵ با ضریب ۲۷.۶ و احتمال بقا ۰.۰۳۵۱۵۶:
EV = ۰.۰۳۵۱۵۶ × ۲۶۶۰۰۰ + ۰.۹۶۴۸۴۴ × (منفی ۱۰۰۰۰) = ۹۳۵۲ منهای ۹۶۴۸ = منفی ۲۹۶ تومان.
این اعداد دقیقا همان نتیجه را تکرار می کنند. EV همه استراتژی ها در محدوده گرد شده برابر منفی ۳۰۰ تومان است.
جدول جمع بندی EV
| سطح برداشت | احتمال موفقیت | ضریب | سود در صورت برد | EV |
|---|---|---|---|---|
| ۱ | ۰.۷۵۰۰ | ۱.۲۹ | ۲۹۰۰ | منفی ۳۲۵ |
| ۲ | ۰.۵۶۲۵ | ۱.۷۲ | ۷۲۰۰ | منفی ۳۲۵ |
| ۳ | ۰.۲۸۱۲۵ | ۳.۴۵ | ۲۴۵۰۰ | منفی ۲۹۷ |
| ۴ | ۰.۱۴۰۶۲۵ | ۶.۹۰ | ۵۹۰۰۰ | منفی ۲۹۷ |
| ۵ | ۰.۰۳۵۱۵۶ | ۲۷.۶۰ | ۲۶۶۰۰۰ | منفی ۲۹۶ |
این جدول مهم ترین نگاه ریاضی به بازی پوپ است. EV همه استراتژی ها در محدوده گرد شده، یکسان است: حدود منفی ۳ درصد از مبلغ شرط. تنها چیزی که با تغییر نقطه برداشت تغییر می کند، واریانس یا میزان نوسان نتیجه است. در استراتژی سطح ۱، نتیجه ها پایدار و قابل پیش بینی هستند. در استراتژی سطح ۵، اکثر دورها باخت کامل است ولی برد آنقدر بزرگ است که در میانگین به همان منفی ۳ درصد می رسد.
اثبات ریاضی: قانون خطی بودن امید
دلیل این که EV همه استراتژی ها یکسان است، یک قانون اساسی در نظریه احتمال است: خطی بودن امید. در یک بازی با RTP اعلام شده R، EV هر شرط برابر است با منفی (۱ منهای R) ضربدر مبلغ شرط، صرف نظر از این که کاربر چه استراتژی انتخاب کند، چه نقطه برداشت چه ترکیبی از دورها.
به این دلیل که هر بار که سایت یک ضریب پیشنهاد می دهد، آن ضریب طوری محاسبه شده که حاشیه خانه ۳ درصد (در RTP ۹۷ درصد) را در آن دور حفظ کند. هر سطح، یک «خرید» جداگانه است که در آن کاربر RTP ۹۷ درصد به دست می آورد. زنجیره ای از این خریدها، در میانگین به همان نسبت بازگشتی RTP ختم می شود.
اثر RTP بر EV
تنها متغیری که در پیاده سازی استاندارد بازی، EV را تغییر می دهد، RTP اعلام شده است. اگر در سایتی بازی کنید که RTP آن ۹۵ درصد است، EV شما به ازای هر ۱۰۰۰۰ تومان شرط برابر منفی ۵۰۰ تومان خواهد بود، نه منفی ۳۰۰. این تفاوت در یک دور کوچک به نظر می رسد، ولی در ۱۰۰۰ دور برابر ۲۰۰۰۰۰ تومان زیان اضافی می شود.
به همین دلیل توصیه ما همیشه این است که در سایت هایی بازی کنید که پیاده سازی با کیفیت با RTP اعلام شده دارند. در صفحه بهترین سایت های بازی پوپ ۲۰۲۶ فهرستی از این سایت ها را با ارجاع به منبع لایسنس آن ها آورده ایم.
توزیع جایگزین: سناریوی ۳/۳/۲/۱/۱
در بعضی پیاده سازی ها، توزیع ایموجی ها کمی متفاوت است. مثلا سطح چهارم به جای دو پول و دو پوپ، یک پول و سه پوپ دارد، و سطح دوم نیز به جای سه پول و یک پوپ، فقط دو پول و دو پوپ دارد. در این سناریو احتمال های موفقیت می شود ۰.۷۵، ۰.۵، ۰.۵، ۰.۲۵، ۰.۲۵.
احتمال بقای تجمعی این سناریو: ۰.۷۵، ۰.۳۷۵، ۰.۱۸۷۵، ۰.۰۴۶۹، ۰.۰۱۱۷.
ضرایب با RTP ۹۷ درصد: ۱.۲۹، ۲.۵۹، ۵.۱۷، ۲۰.۶۸، ۸۲.۷۳.
این تغییر در توزیع، فقط شکل ضرایب را تغییر می دهد. EV هر سطح برداشت همچنان حدود منفی ۳ درصد از شرط است. کاربر باید قبل از بازی، بپرسد یا بررسی کند کدام توزیع در سایت پیاده شده، تا انتظاراتش از ضرایب با واقعیت همخوان باشد.
واریانس: تنها تفاوت واقعی استراتژی ها
نکته ای که برای کاربر تازه کار اغلب پنهان است: دو استراتژی با EV یکسان، می توانند تجربه روانی کاملا متفاوت ایجاد کنند. مثال آن را در جدول بالا دیدید: برداشت در سطح ۱ و برداشت در سطح ۵، هر دو EV منفی ۳ درصد دارند. ولی در حالت اول، در ۷۵ درصد دورها سود کوچک و در ۲۵ درصد زیان کامل می گیرید، در حالی که در حالت دوم، در حدود ۹۶ درصد زیان کامل و در ۴ درصد سود بسیار بزرگ می گیرید.
این تفاوت در توزیع نتیجه، واریانس بازی نامیده می شود. واریانس بالا یعنی نتیجه های بسیار متفاوت در دورهای مختلف، و واریانس پایین یعنی نتیجه ها به هم نزدیک. کاربر می تواند با انتخاب نقطه برداشت، سطح واریانس مورد علاقه اش را انتخاب کند، ولی این انتخاب EV را تغییر نمی دهد. در صفحه راهنمای استراتژی های بازی پوپ درباره این تمایز با جزئیات بیشتر صحبت کرده ایم.
EV استراتژی های ترکیبی و Martingale
آیا با ترکیب چند الگو می توان EV را تغییر داد؟ خیر. این یک قاعده ریاضی محکم است. اگر EV هر دور مستقل برابر منفی X باشد، EV هر ترکیب از این دورها نیز برابر منفی n × X خواهد بود، که n تعداد دورهاست. حتی استراتژی هایی مانند Martingale (دوبرابر کردن شرط پس از هر باخت) که در ظاهر بازگرداندن باخت را وعده می دهند، تنها واریانس را افزایش می دهند و EV را همچنان منفی نگه می دارند.
دلیل ریاضی این پدیده، خاصیت خطی بودن امید در نظریه احتمال است. امید مجموع متغیرهای تصادفی برابر مجموع امیدهاست. اگر هر شرط امید منفی دارد، مجموع چندین شرط نیز امید منفی دارد، صرف نظر از این که چگونه بین آن ها وابستگی ایجاد کرده باشید. این قاعده هیچ استثنایی ندارد و در همه بازی های کازینویی صادق است.
آنچه می تواند کمک کند
اگر هیچ استراتژی EV را مثبت نمی کند، چه چیزی به کاربر کمک می کند؟ پاسخ: مدیریت بانکرول و انضباط شخصی. این موارد، EV را تغییر نمی دهند ولی به کاربر کمک می کنند با همان EV منفی، تجربه طولانی تر و کمتر استرس زا داشته باشد. در صفحه نکات مدیریت بانکرول در پوپ به طور مفصل به این مفاهیم پرداخته ایم.
نکته دوم، توجه به کیفیت پیاده سازی و RTP اعلام شده است. همان طور که گفتیم، انتخاب سایتی با RTP بالاتر، تنها راه عملی برای کاهش EV منفی است. صفحه تاکتیک های برداشت در پوپ نیز درباره این که چگونه می توانید بدون تغییر EV، انتخاب نقطه برداشت را با هدف کنترل واریانس بهینه کنید، توضیح می دهد.
نگاه نهایی به ریاضیات پوپ
پیام اصلی این صفحه این است که در پوپ، شما با یک سیستم ریاضی شفاف ولی همیشه به نفع سایت روبه رو هستید. RTP نزدیک به ۹۷ درصد بهترین چیزی است که می توانید به دست آورید و حتی این عدد هم به این معناست که در بلندمدت ۳ درصد از هر شرط را به سایت تقدیم می کنید. این بدان معنا نیست که بازی غیرعادلانه است، چون این عدد در ابتدا اعلام می شود و کاربر آگاه می تواند با چشم باز انتخاب کند.
نقطه برداشت شما در سطح ۱ یا سطح ۵، در میانگین بلندمدت نتیجه یکسانی دارد. تنها چیزی که با این انتخاب تغییر می کند، شکل تجربه شماست. اگر می خواهید نتایج پایدار با باخت های کوچک تجربه کنید، سطح ۱ یا ۲ مناسب است. اگر دنبال هیجان برد بزرگ به قیمت ضررهای متعدد هستید، سطح ۴ یا ۵ گزینه شماست. هیچ کدام در میانگین بهتر از دیگری نیست.
پوپ را به عنوان یک تجربه سرگرمی با هزینه مشخص ببینید. اگر مبلغی را در نظر می گیرید که برای سرگرمی حاضرید بپردازید، می توانید بازی را به عنوان جایگزین آن انتخاب کنید. اگر هدف شما کسب درآمد است، ریاضیات این صفحه به شما می گوید چنین چیزی در بلندمدت ممکن نیست.
پرسش های پرتکرار
آیا می توانم با تغییر نقطه برداشت EV را بهبود دهم
خیر. در هر پیاده سازی استاندارد، EV هر نقطه برداشت برابر منفی (۱ منهای RTP) ضربدر مبلغ شرط است. تغییر نقطه برداشت فقط واریانس را تغییر می دهد، نه EV.
چرا EV همیشه منفی است
چون RTP کمتر از ۱۰۰ درصد است. سایت در ضرایب پیشنهادی خود یک حاشیه سود مشخص می سازد و این حاشیه دقیقا منبع درآمد بلندمدت سایت و دلیل EV منفی کاربر است.
آیا EV در دور کوتاه هم منفی است
EV یک مفهوم بلندمدت است. در دور کوتاه (مثلا ۱۰ دور)، نوسان شدید است و نتیجه می تواند هر چیزی باشد. ولی هر چه تعداد دورها افزایش یابد، نتیجه واقعی به EV نزدیک تر می شود. این پدیده در ریاضیات قانون اعداد بزرگ نامیده می شود.
آیا Martingale EV را مثبت می کند
خیر. Martingale تنها واریانس را افزایش می دهد و خطر ورشکستگی را بالاتر می برد. EV ترکیبی همچنان منفی است و عملا با محدودیت سرمایه کاربر برخورد می کند.
چه ضرر در ساعت در پوپ منطقی است
بستگی به سرعت بازی و مبلغ شرط دارد. اگر فرض کنیم در ساعت ۶۰ دور بازی کنید و مبلغ هر دور ۱۰۰۰۰ تومان باشد، در سایت با RTP ۹۷ درصد، ضرر میانگین برابر ۱۸۰۰۰ تومان در ساعت خواهد بود.
آیا تغییر توزیع ایموجی ها EV را تغییر می دهد
خیر تا زمانی که RTP اعلام شده ثابت بماند. سایت توزیع را در ضرایب جذب می کند. ولی شکل واریانس و ضریب نهایی سطح پنج به طور قابل توجهی تغییر می کند.
آیا تنظیم Stop Loss EV را تغییر می دهد
خیر. Stop Loss تنها یک ابزار انضباط شخصی است که از بیشتر شدن زیان جلوگیری می کند، ولی نسبت ضرر به شرط، یعنی EV، را تغییر نمی دهد. بهترین استفاده از آن، حفاظت از سرمایه است نه افزایش سود.